古典概型 链接到标题
排列数公式：从n个元素中取m个
c d）排列与组合关系 链接到标题
在组合数学中：
$$ A_n^m = C_n^m \cdot m! $$
含义是：
- $C_n^m$：从 $n$ 个元素中 选出 $m$ 个，不考虑顺序（组合）。
- $m!$：把选出来的 $m$ 个元素 进行排列的所有可能顺序。
因此：
排列 = 先组合选出元素 × 再对选出的元素进行排列
也就是说，先从 $n$ 个元素中选出 $m$ 个，再对这 $m$ 个元素进行全排列，就得到所有可能的排列数：
$$ A_n^m = C_n^m \cdot m! $$
e）组合数的计算性质 链接到标题
1. 置球入盒： 链接到标题
例题1.1 生日问题中“生日各不相同”的概率（置球入盒模型） 链接到标题
设某班有 60 人，每个人的生日在 365 天中等可能出现。
要求“至少两人生日相同”的概率，可以用补事件计算：
$$ P(\text{至少两人生日相同}) = 1 - P(\text{所有人生日都不同}) $$
其中
$$ P(\text{所有人生日都不同})=\frac{C_{365}^{60}\cdot 60!}{365^{60}} $$
含义是：
- 分母 $365^{60}$：表示 60 个人生日的 所有可能情况总数（每人有 365 种选择）。
- 分子 $C_{365}^{60}\cdot60!$：表示 60 人生日全部不同的情况数。
- $C_{365}^{60}$：从 365 天中选出 60 个不同的日期。
- $60!$：把这 60 个不同日期分配给 60 个不同的人。
因此该式表示 60 个人生日互不相同的概率，再用 $1-$ 这个概率，就得到 至少两人生日相同的概率。
例题1.2 指定盒子恰有 m 个球的概率（置球入盒模型） 链接到标题
设有 n 个球随机放入 n 个盒子，每个球进入任一盒子的概率相同。求某一个 指定盒子 恰好有 m 个球的概率。
总情况数为：
$$ n^n $$
因为每个球都有 n 个盒子可选。
分子表示 恰好 m 个球进入该指定盒子的情况数：
$$ C_n^m \cdot 1 \cdot (n-1)^{n-m} $$
含义为：
- $C_n^m$：从 n 个球中选出 m 个球进入该指定盒子；
- $1$：这 m 个球只能进入这个指定盒子；
- $(n-1)^{n-m}$：剩余 $n-m$ 个球不能进入该盒子，因此每个球有 $n-1$ 个盒子可选。
因此概率为：
$$ P = \frac{C_n^m (n-1)^{n-m}}{n^n} $$
该式表示 恰有 m 个球落入指定盒子的概率。
例题1.3 n 个球全部进入同一个盒子的概率 链接到标题
n 个球全部进入同一个盒子的概率 链接到标题
设有 n 个球 随机放入 N 个盒子，每个球进入任一盒子的概率相同。
所有可能情况为：
$$ N^n $$
因为每个球都有 (N) 个盒子可以选择。
若要求 所有 n 个球都进入同一个盒子，需要先从 (N) 个盒子中选出 1 个盒子 来装所有球，其方式数为：
$$ C_N^1 = N $$
一旦选定该盒子，所有球都必须进入该盒子，因此只有 1 种放法。
于是满足条件的情况数为 (N)。
因此概率为：
$$ P=\frac{N}{N^n}=\frac{1}{N^{,n-1}} $$
即 n 个球全部落入同一个盒子的概率为 (1/N^{,n-1})。
例题2 竞赛生分班 链接到标题
例题2.2 竞赛生分班 链接到标题
C3 1表示三个竞赛生分到同一个班
C12 2表示剩下两个位置被普通学生填满
合起来就是分到三个竞赛生的班级
例题2.3 链接到标题
