例题：几何概率 链接到标题
在区间 ((0,1)) 内任取两个数，求这两个数之和小于 6/5 的概率。 五边形面积可以用S正-S三角形，三角形面积取x=1的特殊值计算 链接到标题
1 建立几何模型 链接到标题
设两个随机数分别为
$$ x , y $$
由于
$$ 0 < x < 1 ,\quad 0 < y < 1 $$
样本空间为
$$ \Omega = {(x,y) \mid 0<x<1,0<y<1} $$
在平面上对应 单位正方形区域。
因此
$$ S_\Omega = 1 $$
2 事件区域 链接到标题
题目条件为
$$ x+y < \frac{6}{5} $$
对应直线
$$ x+y=\frac{6}{5} $$
这条直线与坐标轴交点为
$$ (1,\frac{1}{5}) ,\quad (\frac{1}{5},1) $$
因此在单位正方形中，右上角形成一个 三角形区域。
事件区域 (A) 为
$$ G={(x,y)\mid x+y<\frac{6}{5}} $$
3 面积计算 链接到标题
可以利用补集思想：
五边形面积 = 正方形面积 − 三角形面积
三角形两条直角边长度为
$$ \frac{4}{5} $$
因此三角形面积
$$ S_{\triangle}=\frac12\left(\frac45\right)^2 $$
即
$$ S_{\triangle}=\frac{8}{25} $$
4 概率计算 链接到标题
几何概率公式：
$$ P(A)=\frac{m(G)}{m(\Omega)} $$
代入面积：
$$ P(A)=\frac{1-\frac{8}{25}}{1} $$
得到
$$ P(A)=\frac{17}{25} $$
总结 链接到标题
解决几何概率问题的一般步骤：
- 设随机变量建立坐标系
- 写出样本空间区域
- 根据条件确定事件区域
- 通过面积比计算概率
核心公式：
$$ P(A)=\frac{\text{事件区域面积}}{\text{样本空间面积}} $$